Vous pouvez télécharger ce cours en pdf.
Sur cette article, je ne vais pas expliquer comment
utiliser ce cube avec des jeunes enfants, mais comprendre comment on peut
l’utiliser pour visualiser et apprendre facilement les identités remarquables.
Mais vous pouvez trouver comment utiliser le cube du
binôme sur ce
site.
En partant de l’Aire
Rappel des formules de l’Aire
Il faut connaître l’aire d’un carré et d’un
rectangle. Voici les cartes que vous trouverez dans les nomenclatures de
géométrie.
Donc pour l’aire du carré, on multiplie côté par
côté
et pour le rectangle, grande longueur multiplié par
le petit côté.
Nous allons travailler sur un carré simple.
1re identité remarquable : Carré d’une somme
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Cette identité remarquable calcule l’aire des 4
quadrilatères ensemble.
Nous avons vu que l’aire d’un carré était côté fois
côté : a x a = a2
Et pour l’aire d’un rectangle, c’était le grand côté
fois le petit côté : a x b = ab
(a + b)2 = (a+b) x (a+b)
Explication :
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
ð a2 :
c’est l’aire du carré rouge
ð b2 :
l’aire du carré bleu
ð ab :
représente l’aire d’un rectangle noir et comme il y en a 2, on l’exprime :
2ab = 1ab + 1ab
ð (a + b) :
représente un côté du grand carré et pour calculer son aire, on l’exprime
ainsi :
(a + b)2 = (a + b) x (a + b)
(a + b)2 = (a + b) x (a + b)
2me identité remarquable : Carré d’une
différence
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Cette identité remarquable calcule un des 2 carrés.
Voici le schéma qui va calculer le carré
bleu.
Voici le schéma qui va calculer le carré
rouge.
Explication :
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
ð a2 :
Représente l’aire du grand carré
ð b2 :
l’aire du carré rouge ou bleu selon le schéma choisi
ð (a
- b)2 : l’aire du carré rouge ou bleu selon le schéma choisi
Comment arrive-t-on à a2 – 2ab + b2 :
N’oublions pas qu’on retire des quadrilatères au
grand carré, donc on soustrait au a2.
(a – b)2 = a2 - b2
- 2b (a - b)
Nous
allons effectuer une distributivité :
=> 2b c’est pareil
que 2 x b, on retire le signe.
Donc ça nous fait
(-2b) x a + (-2b) x (-b)
On sait que les 2 signes moins en
multiplication équivaut à un signe +.
Donc -2ab + (2b) x b
Comme nous avons 2 b dans une
multiplication, on le met au carré :
-2ab + 2b2
(a – b)2 = a2 - b2 – 2ab +
2b2
Maintenant que nous avons développé, nous allons
regrouper :
(a – b)2 = a2 – 2ab + (-b2
+ 2b2)
Pour –b2 = -1b2, le 1 est
invisible mais il existe.
Voici le résultat :
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
3me identité remarquable : Différence de deux
carrés
a2 – b2 = (a + b) (a – b)
Cette identité remarquable calcule l’aire du grand carré auquel on retire le carré bleu. Ou un rectangle si on bouge un des rectangles noirs voir figure 8.
Explication :
a2 – b2 = a (a – b) + b (a -
b)
ð a (a –
b) : représente le rectangle entouré en vert (cf figure 6)
ð b (a –
b) : représente le rectangle noir qui se trouve à gauche du carré bleu (cf
figure 6)
Nous allons maintenant faire une factorisation.
Dans chacun des termes (c'est-à-dire a (a - b) et le
2me b (a - b)) nous avons la même quantité qui est (a - b).
Nous le mettons en facteur, et nous prenons ce qui
reste de gauche à droite, ce qui donne :
a2 – b2 = (a – b) [a + b]
Et voici donc l’identité remarquable :
a2 – b2 = (a + b) (a – b)
En partant de du Volume
Rappel des formules du Volume
1re identité remarquable volume : Cube d’une
somme
(a + b)3 = a3 + 3a2b
+ 3ab2 + b3
Cette identité remarquable calcule le volume du
grand cube.
(a + b)3 = a3 + 3a2b
+ 3ab2 + b3
a3 (pour
le cube rouge) + 3a2b (pour
3 pavés rouges et noirs) + 3ab2 (pour 3 pavés bleus et noirs) + b3 (pour le cube bleu)
2me identité remarquable volume : Cube d’une
différence
(a – b)3 = a3 – 3a2b
+ 3ab2 – b3
Cette identité remarquable calcule le volume du cube
rouge.
Nous avons donc 1 gros cube : a3, 1
cube bleu : b3, 3 pavés bleus et noirs : 3ab2
et 3 pavés rouges et noirs : 3a2b.
Une règle simple pour
(a-b)x, il faut mettre un - devant
chaque terme ou b est élevé à une puissance impaire.
(a – b)3 = a3 – 3a2b
+ 3ab2 – b3
Cette identité peut être utilisé également pour
trouver le volume du cube bleu, alors b3 représenterai le cube
rouge.
3me identité remarquable volume : Différence de
deux cubes
a3 – b3 = (a – b)(a2
+ ab + b2)
Cette identité remarquable calcule le volume du gros
cube en enlevant les cubes rouge et bleu.
Explication :
a3 – b3 = (a – b)3
+ 3b (a – b)2 + 3b2 (a – b)
ð (a
– b)3 : représente le volume du cube rouge (cf figure 16)
ð 3b
(a – b)2 : représente le volume des 3 pavés rouges et noirs (cf
figure 17)
ð 3b2
(a – b) : représente le volume des 3 pavés bleus et noirs (cf
figure 18)
Nous factorisons :
a3 – b3 = (a – b) ((a – b)2 + 3b(a-b) + 3b2)
Nous développons le terme en violet :
a3 – b3 = (a – b) ((a – b) (a – b) + 3ab – 3b2 + 3b2)
Les 3b2 s’annulent car les signes sont
opposés.
Nous développons le terme en vert :
a3 – b3 = (a – b) ((a2 – ab –ab + b2) + 3ab)
a3 – b3 = (a – b) (a2 – 2ab + b2 + 3ab)
a3 – b3 = (a – b) (a2 + b2 +
ab)
4me identité remarquable volume : Somme de deux
cubes
a3 + b3 = (a + b)(a2
- ab - b2)
Cette identité remarquable calcule le volume du cube
rouge et du cube bleu.
Explication :
a3 + b3 = (a + b)3
– 3ab (a + b)
ð (a
+ b)3 : représente le volume du gros cube (cf figure 19)
ð 3ab
(a + b) : représente le volume des 3 pavés rouges et noirs assemblés aux 3
pavés bleus et noirs (cf figure 20)
Nous factorisons, nous extrayons (a + b) qui se
trouve dans les 2 termes :
a3 + b3 = (a + b) ((a + b)2 – 3ab)
a3 + b3 = (a + b) ((a + b)(a + b) – 3ab)
Nous développons le terme en violet :
a3 + b3 = (a + b) (a2 + ab + ab + b2 –
3ab)
Nous additionnons les 2 termes soulignés :
a3 + b3 = (a + b) (a2
+ 2ab + b2
– 3ab)
Nous additionnons les 2 mêmes termes qui sont en
vert :
a3 + b3 = (a + b) (a2
+ b2 – ab)
Sandrine L.
http://amourdenfantsetief.blogspot.fr
