Cube du Binôme et les identités remarquables

Vous pouvez télécharger ce cours en pdf.

Pour ceux qui ont le courage de fabriquer le cube, c’est ici.

Sur cette article, je ne vais pas expliquer comment utiliser ce cube avec des jeunes enfants, mais comprendre comment on peut l’utiliser pour visualiser et apprendre facilement les identités remarquables.

Mais vous pouvez trouver comment utiliser le cube du binôme sur ce site.

En partant de l’Aire

Rappel des formules de l’Aire

Il faut connaître l’aire d’un carré et d’un rectangle. Voici les cartes que vous trouverez dans les nomenclatures de géométrie.

Donc pour l’aire du carré, on multiplie côté par côté

et pour le rectangle, grande longueur multiplié par le petit côté.

Nous allons travailler sur un carré simple.

1^re identité remarquable : Carré d’une somme

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Cette identité remarquable calcule l’aire des 4 quadrilatères ensemble.

Nous avons vu que l’aire d’un carré était côté fois côté : a x a = a²

Et pour l’aire d’un rectangle, c’était le grand côté fois le petit côté : a x b = ab

(a + b)² = (a+b) x (a+b)

Explication :

(a + b)² = a² + 2ab + b²

ð  a² : c’est l’aire du carré rouge

ð  b² : l’aire du carré bleu

ð  ab : représente l’aire d’un rectangle noir et comme il y en a 2, on l’exprime : 2ab = 1ab + 1ab

ð  (a + b) : représente un côté du grand carré et pour calculer son aire, on l’exprime ainsi :
(a + b)² = (a + b) x (a + b)

Vous pouvez trouver l’explication en vidéo ici.

Voici des exercices en vidéo le 1^er et le 2^me.

2^me identité remarquable : Carré d’une différence

(a – b)² = a² – 2ab + b²

Cette identité remarquable calcule un des 2 carrés.

Voici le schéma qui va calculer le carré bleu.

Voici le schéma qui va calculer le carré rouge.

Explication :

(a – b)² = a² – 2ab + b²

ð  a² : Représente l’aire du grand carré

ð  b² : l’aire du carré rouge ou bleu selon le schéma choisi

ð  (a - b)² : l’aire du carré rouge ou bleu selon le schéma choisi

Comment arrive-t-on à a² – 2ab + b² :

N’oublions pas qu’on retire des quadrilatères au grand carré, donc on soustrait au a².

(a – b)² = a² - b² - 2b (a - b)

Nous allons effectuer une distributivité :

=> 2b c’est pareil que 2 x b, on retire le signe.

Donc ça nous fait

(-2b) x a + (-2b) x (-b)

On sait que les 2 signes moins en multiplication équivaut à un signe +.

Donc -2ab + (2b) x b

Comme nous avons 2 b dans une multiplication, on le met au carré :

-2ab + 2b²

(a – b)² = a² - b² – 2ab + 2b²

Maintenant que nous avons développé, nous allons regrouper :

(a – b)² = a² – 2ab + (-b² + 2b²)

Pour –b² = -1b², le 1 est invisible mais il existe.

Voici le résultat :

(a – b)² = a² – 2ab + b²

Vous pouvez trouver l’explication en vidéo ici et ici.

Voici des exercices en vidéo le 1^er et le 2^me.

3^me identité remarquable : Différence de deux carrés

a² – b² = (a + b) (a – b)

Cette identité remarquable calcule l’aire du grand carré auquel on retire le carré bleu. Ou un rectangle si on bouge un des rectangles noirs voir figure 8.

Explication :

a² – b² = a (a – b) + b (a - b)

ð  a (a – b) : représente le rectangle entouré en vert (cf figure 6)

ð  b (a – b) : représente le rectangle noir qui se trouve à gauche du carré bleu (cf figure 6)

Nous allons maintenant faire une factorisation.

Dans chacun des termes (c'est-à-dire a (a - b) et le 2me b (a - b)) nous avons la même quantité qui est (a - b).

Nous le mettons en facteur, et nous prenons ce qui reste de gauche à droite, ce qui donne :

a² – b² = (a – b) [a + b]

Et voici donc l’identité remarquable :

a² – b² = (a + b) (a – b)

Vous pouvez trouver l’explication en vidéo ici.

Voici des exercices en vidéo le 1^er, le 2^me et le 3^me.

En partant de du Volume

Rappel des formules du Volume

Il faut connaître le volume d’un cube et d’un pavé. Voici les cartes que vous trouverez dans les nomenclatures de géométrie.

1^re identité remarquable volume : Cube d’une somme

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Cette identité remarquable calcule le volume du grand cube.

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

a³ (pour le cube rouge) + 3a²b (pour 3 pavés rouges et noirs) + 3ab² (pour 3 pavés bleus et noirs) + b³ (pour le cube bleu)

Vous pouvez trouver l’explication en vidéo ici.

2^me identité remarquable volume : Cube d’une différence

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

Cette identité remarquable calcule le volume du cube rouge.

Nous avons donc 1 gros cube : a³, 1 cube bleu : b³, 3 pavés bleus et noirs : 3ab² et 3 pavés rouges et noirs : 3a²b.

Une règle simple pour (a-b)^x, il faut mettre un - devant chaque terme ou b est élevé à une puissance impaire.

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

Cette identité peut être utilisé également pour trouver le volume du cube bleu, alors b³ représenterai le cube rouge.

3^me identité remarquable volume : Différence de deux cubes

a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

Cette identité remarquable calcule le volume du gros cube en enlevant les cubes rouge et bleu.

                  

Explication :

a³ – b³ = (a – b)³ + 3b (a – b)² + 3b² (a – b)

ð  (a – b)³ : représente le volume du cube rouge (cf figure 16)

ð  3b (a – b)² : représente le volume des 3 pavés rouges et noirs (cf figure 17)

ð  3b² (a – b) : représente le volume des 3 pavés bleus et noirs (cf figure 18)

Nous factorisons :

a³ – b³ = (a – b) ((a – b)² + 3b(a-b) + 3b²)

Nous développons le terme en violet :

a³ – b³ = (a – b) ((a – b) (a – b) + 3ab – 3b² + 3b²)

Les 3b² s’annulent car les signes sont opposés.

Nous développons le terme en vert :

a³ – b³ = (a – b) ((a2 – ab –ab + b2) + 3ab)

a³ – b³ = (a – b) (a2 – 2ab + b2 + 3ab)

a³ – b³ = (a – b) (a2 + b2 + ab)

4^me identité remarquable volume : Somme de deux cubes

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab - b²)

Cette identité remarquable calcule le volume du cube rouge et du cube bleu.

Explication :

a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab (a + b)

ð  (a + b)³ : représente le volume du gros cube (cf figure 19)

ð  3ab (a + b) : représente le volume des 3 pavés rouges et noirs assemblés aux 3 pavés bleus et noirs (cf figure 20)

Nous factorisons, nous extrayons (a + b) qui se trouve dans les 2 termes :

a³ + b³ = (a + b) ((a + b)² – 3ab)

a³ + b³ = (a + b) ((a + b)(a + b) – 3ab)

Nous développons le terme en violet :

a³ + b³ = (a + b) (a² + ab + ab + b² – 3ab)

Nous additionnons les 2 termes soulignés :

a³ + b³ = (a + b) (a² + 2ab + b² – 3ab)

Nous additionnons les 2 mêmes termes qui sont en vert :

a³ + b³ = (a + b) (a² + b² – ab)

Sandrine L.
http://amourdenfantsetief.blogspot.fr